realref.ru

Оценка погрешности формулы Симпсона. Метод вывода оценки погрешности, применённый для формулы трапеции, не годится для формулы Симпсона


sensornoe-razvitie.html
sensornoe-samosoznanie.html
sensornoe-vospitanie-celenapravlennie-pedagogicheskie-vozdejstviya-obespechivayushie-formirovanie-chuvstvennogo-poznaniya-i-sovershenstvovanie-oshushenij-i-vospriyatii.html
sensornoe-vospitanie.html

Метод вывода оценки погрешности, применённый для формулы трапеции, не годится для формулы Симпсона. Поэтому без доказательства примем следующую оценку погрешности формулы (4.3):

DСИМП = I – I* = , xÎ[ x0 , x2]. (4.4)

Знак “–” означает, что при f (4) > 0 формула (4.3) дает значение интеграла с избытком, а при f (4) < 0 – с недостатком. На рис. 4.3 функция f(x) представляет собой многочлен 4-й степени с постоянным значением f (4) < 0. Из рисунка видно, что площадь фигуры под графиком f(x) (окрашенная область) больше, чем под F(x). Следовательно, I* < I. При f (4) = 0, т.е. если f(x) = P3(x), формула (4.3) не содержит погрешности и абсолютно точна. Это видно на рис. 4.2 – f(x) представляет собой многочлен 3-й степени и площади под f(x) и под F(x) абсолютно одинаков, хотя сами функции не совпадают.

Рис. 4.3. При f (4) < 0 формула Симпсона дет результат с недостатком


3. Составные формулы численного интегрирования

Описанные формулы численного интегрирования легко обобщить на случай применения многочленов более высоких степеней и тем самым добиться улучшения точности решения задачи (подобный метод широко применяют, при этом, в частности, получаются так называемые квадратурные формулы Ньютона-Котеса). Однако, более перспективен другой способ, основанный на кусочной аппроксимации подынтегральной функции многочленами невысокой степени – 1-й или 2-й.

Идея метода: разбить отрезок [a, b] на n частей и на каждой части применить формулу трапеций или Симпсона. Из формул (4.2) и (4.4) видно, что при h < 1 погрешность этих формул уменьшается.

3.1. Составная формула трапеций. Разобьём отрезок [a, b] на n частей равноотстоящими точками x0 = a, x1 = a + h, …, xn = b, и на каждой части [xi, xi+1] применим формулу трапеций:

» ×( yi + yi+1).

Получим

» ×[( y0 + y1) + ( y1 + y2) + … + ( yn–1 + yn)] Þ

» h×– (4.5)

составная формула трапеций. Её геометрический смысл – подынтегральная функция заменяется ломанной.

3.2. Оценка погрешности. Очевидно, погрешность формулы (4.5) равна сумме погрешностей на каждом i-м интервале. Воспользуемся формулой (4.2), получим = – , где xiÎ[xi, xi+1].

Обозначим m = – среднее арифметическое значений второй производной, а также m = , M = . По известному свойству среднего арифметического имеем: m £ m£ M.

Из математического анализа известна 2-я теорема Больцано-Коши: если функция y(x) непрерывна на отрезке, то она принимает все свои значения, от минимального до максимального. Иными словами, для любого р, такого что min y(x) £ p £ max y(x), уравнение p = y(x) всегда имеет решение при непрерывной функции у(х). Для разрывной функции это, вообще говоря, неверно (см. рис. 4.4).



Рис. 4.4. Иллюстрация ко 2-й теореме Больцано-Коши:непрерывная и разрывная функции.

Если f’’(x) непрерывна на [a, b], то к ней применима указанная теорема при р = m. Значит, существует такая точка xÎ[a, b], что m = f’’(x). Следовательно,

= n×m = n×f ’’(x). Тогда

= – = –.

Следовательно,

= –. (4.6)

3.3. Составная формула Симпсона. Разобьём отрезок [a, b] на n частей, где n – чётно. Применим формулу Симпсона к каждому двойному отрезку [x2i–2, x2i]. Тогда

» ×[(y0 + 4y1 + y2) + (y2 + 4y3 + y4) + … + (yn–2 + 4yn–1 + yn)].

Заметим, что y2, y4,… yn–2 повторяются дважды. Отсюда

» ×[( y0 + yn) + 4Sнечётн + 2Sчётн ] (4.7)

составная формула Симпсона.

Здесь Sнечётн = y1 + y3 + … + yn–1, Sчётн = y2 + y4 + … + yn–2.

3.4. Оценка погрешности. Для оценки погрешности формулы (4.7) воспользуемся оценкой (4.4) погрешности простой формулы. Применим тот же метод, что и для составной формулы трапеции. Получим

= –. (4.8)

Задание. Вывести формулу (4.8) самостоятельно.