Перейти на главную страницу сайта

Оценка погрешности формулы Симпсона. Метод вывода оценки погрешности, применённый для формулы трапеции, не годится для формулы Симпсона

Метод вывода оценки погрешности, применённый для формулы трапеции, не годится для формулы Симпсона. Поэтому без доказательства примем следующую оценку погрешности формулы (4.3):

DСИМП = I – I* = , xÎ[ x0 , x2]. (4.4)

Знак “–” означает, что при f (4) > 0 формула (4.3) дает значение интеграла с избытком, а при f (4) < 0 – с недостатком. На рис. 4.3 функция f(x) представляет собой многочлен 4-й степени с постоянным значением f (4) < 0. Из рисунка видно, что площадь фигуры под графиком f(x) (окрашенная область) больше, чем под F(x). Следовательно, I* < I. При f (4) = 0, т.е. если f(x) = P3(x), формула (4.3) не содержит погрешности и абсолютно точна. Это видно на рис. 4.2 – f(x) представляет собой многочлен 3-й степени и площади под f(x) и под F(x) абсолютно одинаков, хотя сами функции не совпадают.

Рис. 4.3. При f (4) < 0 формула Симпсона дет результат с недостатком


3. Составные формулы численного интегрирования

Описанные формулы численного интегрирования легко обобщить на случай применения многочленов более высоких степеней и тем самым добиться улучшения точности решения задачи (подобный метод широко применяют, при этом, в частности, получаются так называемые квадратурные формулы Ньютона-Котеса). Однако, более перспективен другой способ, основанный на кусочной аппроксимации подынтегральной функции многочленами невысокой степени – 1-й или 2-й.

Идея метода: разбить отрезок [a, b] на n частей и на каждой части применить формулу трапеций или Симпсона. Из формул (4.2) и (4.4) видно, что при h < 1 погрешность этих формул уменьшается.

3.1. Составная формула трапеций. Разобьём отрезок [a, b] на n частей равноотстоящими точками x0 = a, x1 = a + h, …, xn = b, и на каждой части [xi, xi+1] применим формулу трапеций:

» ×( yi + yi+1).

Получим

» ×[( y0 + y1) + ( y1 + y2) + … + ( yn–1 + yn)] Þ

» h×– (4.5)

составная формула трапеций. Её геометрический смысл – подынтегральная функция заменяется ломанной.

3.2. Оценка погрешности. Очевидно, погрешность формулы (4.5) равна сумме погрешностей на каждом i-м интервале. Воспользуемся формулой (4.2), получим = – , где xiÎ[xi, xi+1].

Обозначим m = – среднее арифметическое значений второй производной, а также m = , M = . По известному свойству среднего арифметического имеем: m £ m£ M.

Из математического анализа известна 2-я теорема Больцано-Коши: если функция y(x) непрерывна на отрезке, то она принимает все свои значения, от минимального до максимального. Иными словами, для любого р, такого что min y(x) £ p £ max y(x), уравнение p = y(x) всегда имеет решение при непрерывной функции у(х). Для разрывной функции это, вообще говоря, неверно (см. рис. 4.4).



Рис. 4.4. Иллюстрация ко 2-й теореме Больцано-Коши:непрерывная и разрывная функции.

Если f’’(x) непрерывна на [a, b], то к ней применима указанная теорема при р = m. Значит, существует такая точка xÎ[a, b], что m = f’’(x). Следовательно,

= n×m = n×f ’’(x). Тогда

= – = –.

Следовательно,

= –. (4.6)

3.3. Составная формула Симпсона. Разобьём отрезок [a, b] на n частей, где n – чётно. Применим формулу Симпсона к каждому двойному отрезку [x2i–2, x2i]. Тогда

» ×[(y0 + 4y1 + y2) + (y2 + 4y3 + y4) + … + (yn–2 + 4yn–1 + yn)].

Заметим, что y2, y4,… yn–2 повторяются дважды. Отсюда

» ×[( y0 + yn) + 4Sнечётн + 2Sчётн ] (4.7)

составная формула Симпсона.

Здесь Sнечётн = y1 + y3 + … + yn–1, Sчётн = y2 + y4 + … + yn–2.

3.4. Оценка погрешности. Для оценки погрешности формулы (4.7) воспользуемся оценкой (4.4) погрешности простой формулы. Применим тот же метод, что и для составной формулы трапеции. Получим

= –. (4.8)

Задание. Вывести формулу (4.8) самостоятельно.

iveta-mnogoslojnost-karti.html
g-kursk-aprel-2014-2015-uchebnij-god.html
perspektivi-razvitiya-zheleznodorozhnoj-radiosvyazi.html
opisanie-sociosistemi-s-pomoshyu-termodinamicheskih-parametrov-socialnaya-temperatura-i-socialnaya-entropiya-21-stranica.html
koverun.html
primіtki-1-ne-pustisha-gostej-ih-ni-lodej-mb.html
zagalom-za-yaroslava-mudrogo-velikoknya.html
polіtichnі-ruhi-ta-polіtichnі-partії.html
socіalnі-ta-nacіonalnі-ruhi-u-hvііі-st.html
faktori-mikrosredi-marketinga.html
modeli-i-metodi-strategicheskogo-menedzhmenta-i-upravleniya-proektami-na-etape-postanovki-obshih-celej.html
patogenez-lihoradki-vtorichnie-pirogeni-ih-proishozhdenie-centralnie-i-sistemnie-effekti-stadii-lihoradki-izmenenie-processov-termoregulyacii-v-razlichnie-stadii-lihoradki.html
krugovaya-permena-predstavlyaet-soboj-superpoziciyu-pervoj-i-vtoroj.html
socialno-filosofskie-vzglyadi-novogo-vremeni.html
pri-otsutstvii-lyubogo-iz-ukazannih-kriteriev-proizvedennie-zatrati-ne-priznayutsya-nematerialnimi-aktivami-i-yavlyayutsya-rashodami-organizacii.html
ponyatie-organizacii-zhiznennij-cikl.html
priklad-pobuduvati-3-proekcії-geometrichnogo-tіla-z-naskrіznimi-virіzami.html
oficialnij-harakter-moskovskogo-letopisaniya-xvi-v.html
programmi-shkolnoj-fizicheskoj-kulturi-rossijskoj-federacii-v-1990-e-godi.html
opredelenie-morozostojkosti-betona-gost-100600-95.html